1変数の微積分では、定積分 $\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$ は曲線の下の純面積を表します。3次元に進むと、この論理を拡張して 体積 表面 $z = f(x, y)$ の下の
1. 標準的な定義
関数 $f$ について、閉区間 $R = [a, b] \times [c, d]$ 上での二重積分を、二重リーマン和の極限として定義します：
$$\iint_R f(x, y) \, dA = \lim_{m, n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*) \Delta A$$
ここで $\Delta A = \Delta x \Delta y$ は部分長方形 $R_{ij}$ の面積であり、$(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$ は $R_{ij}$ 内の任意のサンプル点です。
1. 幾何的分割： $R$ を $m \times n$ 個の部分長方形 $R_{ij}$ に分割し、$x_i = a + i\Delta x$、$y_j = c + j\Delta y$ とします。
2. 立体の近似： 各 $R_{ij}$ に対して、高さ $f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$ の柱を作成します。立体 $S$ の体積 $V$ は $V \approx \sum \sum f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A$ で近似されます。
3. 極限： グリッドが無限に細かくなる（$m, n \to \infty$）とき、近似値は正確な体積に収束します。
2. 平均値定理
1次元の曲線の平均高さが $\frac{1}{b-a}\int f(x)dx$ であるように、領域 $R$ における表面 $z=f(x,y)$ の平均値は：
$$f_{ave} = \frac{1}{A(R)} \iint_R f(x, y) \, dA$$
この $f_{ave}$ は、表面の下にある複雑な立体と同じ体積を持つ、底面が $R$ の直方体の高さを表します。